第46课　给不起的麦子

给不起的麦子（for循环、累乘、溢出）

有这样一个很著名的故事，国王要重赏国际象棋的发明者达依尔，国王问：“你想要什么奖励？”达依尔指着国际象棋的棋盘，对国王说：“我只要在棋盘上放麦子，每一小格的麦子都比前一小格多一倍。第一格放1颗，第二格放2颗，第三格放4颗，第四格放8颗，第五格放16颗……按这个方法，我只要这棋盘上64个小格的麦子！”

国王以为要不了多少粮食，随口就答应了。但是还没有放到20格，一袋麦子就空了，后来粮仓空了，就算把全国的粮食都给他，都还不够！

你知道放满这个棋盘要多少颗麦子吗？

给不起的麦子

运行程序：

（1）for(int i=1;i<=64;i++)：通过for循环依次向棋盘的64个格子中放入麦子。

（2）sum*=2：后一个格子是前一个格子的两倍。

提出思考

（1）为什么在放第32个的时候出现负数？

int类型能表示的最大正整数为：0111 1111 1111 1111 1111 1111 1111 1111(最高位是符号位，正数符号位为0，负数符号位为1)，对应的十进

制数为2^31-1=2147483647。取值范围为-2,147,483,648~2,147,483,647。

（2）能明白数字为什么是2,147,483,647，但是不知道为什么是-2,147,483,648呢？

在C++中，整数类型数值的最大溢出通常会导致结果变为负数的最小值，这是因为C++中整数类型的表示采用的是二进制补码表示法。在这种表示方法中，最高位表示符号位，0表示正数，1表示负数。当一个整数类型的变量值溢出时，其二进制表示的最高位会变为1，在十进制中也就变成了-2,147,483,648，从而将结果解释为负数。

下面用一个简单的示例来说明这个概念。假设我们使用一个8位的有符号整数类型，它的最大值是127（01111111，二进制表示），最小值是-128（10000000，二进制表示）。如果我们将最大值127加1，即发生了溢出，其二进制表示将变为10000000，这个二进制数在有符号整数表示中被解释为-128，而不是128。

（3）最后为什么又成0了呢？

当sum等于负数的最小值时，继续乘以2将导致数值溢出，并且结果会变为0。这是因为在二进制补码表示法中，负数的最小值（即最高位为1，其余位为0）向左移位一次后会变成0。

试试数据类型long long long long

运行程序：

long long的范围是-9223372036854775808~9223372036854775807，与结果相比就差1了，我们让sum减1试试看是否还会溢出。

快看，输出没有溢出边界了。

巩固练习

（1）假设一个8位有符号整数的最大值是127（01111111，二进制表示），最小值是-128（10000000，二进制表示）。如果将127加1，会发生什么？（）

A．结果变为0

B．结果变为128

C．结果变为-128

D．结果变为-127

（2）下面哪个数据类型可以用来容纳大整数值，以避免整数溢出？（）

A．int

B．float

C．long long

D．double

（3）水仙花数也被称为自恋数、阿姆斯特朗数，是一种特殊的整数。一个n位数如果等于其各位数字的n次幂之和，则被称为水仙花数。例如，153是一个水仙花数，因为1^3+ 5^3 + 3^3=153。

使用一个for循环，找出100~999的所有水仙花数并输出，各数字之间用空格隔开。